用好圆的知识,优化解题过程

2020-01-01 07:15 次浏览

安徽省枞阳县宏实中学(246700)吴利华 江保兵

数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化;能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。而圆的应用一直又是数形结合中的热门话题,本文结合笔者的解题经历,谈谈用圆的相关知识解决数学难题的方法,供大家参考。

1.发现隐藏的圆

例1(2014年浙江高中数学夏令营测试题)已知ti(i=1,2,3)为实数,则三条直线xcosti+ysinti=1围成的正三角形面积的最大值为。

分析:我们知道,过圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上的一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2,所有的切线构成的直线系M为λ(x-a)+μ(y-b)=rλ2+μ2,其中λ,μ为参数。

反之,也可由直线系M找到隐藏的圆方程。在本题中,这三条直线隐藏着一个圆,它的方程为x2+y2=1,又因为三条直线围成的三角形为正三角形,故它们所对应的图形有二种,分别为图1所示。显然这时Smax=SΔABC=33。

图1

无独有偶,我们再来看看下面这道题,分析与解答的过程留给读者。

(2009年高考江西理科题)设有直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:

A。 M中所有直线均经过一个定点;

B。 存在定点P不在M中的任何一条直线上;

C。 对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上;

D。 M中直线所能围成的正三角形面积都相等。

其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号)。

例2(阿波罗尼斯圆)满足条件AB=2,AC=2BC的ΔABC的面积的最大值是。

解:以直线AB为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系。

设C(x,y),由AC=2BC,得(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2,化简得(x-3)2+y2=8(y≠0)?|y|max=22,(SΔABC)max=22。

评析:本题若用常规方法求解,使用余弦定理、正弦定理和面积公式,再利用函数的单调性求解,则计算过程非常复杂。本题解题的关键是找出隐藏在问题中间的圆——阿波罗尼斯圆。一般地,若动点M与相异两定点A(x1,y1),B(x2,y2)的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点M的轨迹为圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。

2.运用四点共圆

例3(2011年全国高考题)设向量a→、b→、c→满足|a→|=|b→|=1,a→·b→=-12,<a→-c→,b→-c→>=60°,则|c→|的最大值等于()。

A.2B. 3C.2D.1

解:在平面上任选一点A,作 AB→=a→,AC→=b→,AD→=c→。由题意知∠CDB=60°,∠BAC=120°,由平几知识, A、B、C、D四点共圆,c→所对应线段AD为四边形ABCD外接圆的一条弦,它的最大值为圆的直径2。如图2所示。

本题可作一个简单的推广:设向量a→、b→、c→满足|a→|=m,|b→|=n,<a→,b→>=α,<a→-c→,b→-c→>=π-α,则|c→|的最大值等于2R。(其中2R是四边形ABCD外接圆的直径)

图2图3

例4(2014年安庆市重点中学联考题)已知点F1(0,-3),F2(0,3),动点H满足|HF1→|=2|HF2→|。记动点H的轨迹为曲线C,过A(-1,0)的动直线l与曲线C相交于P、Q两点,M是PQ的中点,l与直线m:x+5y+7=0相交于N。

(1)求曲线C的方程;

(2)探索AM→·AN→是否与直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由。

分析:由题意曲线C为一个阿波罗尼斯圆 x2+(y-5)2=16, 不妨设它的圆心为C,连接AC交直线m于D点,则AC⊥ND,于是N

、D、C、M四点共圆,由相交弦定理知|AM|·|AN|=|AC|·|AD|,所以AM→·AN→=-6,与直线l的倾斜角无关。如图3所示。

评析:本题如果按照常规的解析方法处理,也能解决问题,但运算量过大。运用四点共圆的知识,不但能简化运算过程,而且突出试题的本质。

3.巧妙构圆

例5(2014年全国高中数学联赛贵州预赛题)

已知函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x∈R且x≠0),若实数a,b使得f(x)=0有实根,求a2+b2的最小值。

解:设t为函数f(x)=0的实根,则t2+at+1t2+at+b=0,设a2+b2=r2。

把代数式t2+at+1t2+at+b=0变形为(t+1t)a+b+t2+1t2=0,它表示以a,b为变量的直线方程,而a2+b2=r2表示以a,b为变量的圆的方程,直线和圆至少有一个交点,所以

r≥t2+1t2(t+1t)2+1=mm+3≥22+3=25

(m=t2+1t2), 所以a2+b2≥45,经检验,等号可以取得,即a2+b2的最小值为45。

注:运用同样的技巧,可以解决下面两道试题:

1.设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一个零点,求a2+b2的最小值。(2013年全国高中数学联赛浙江预赛题)。

2.关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根,求a2+b2的最小值。(2011年全国高中数学联赛湖北预赛题)。

例6(2014年内蒙古自治区高中数学联赛预赛)已知|a→|=|b→|=2,|c→|=1,(a→-c→)·(b→-c→)=0

,求|a→-b→|的取值范围。

解:建立平面直角坐标系,设c→=(m,n),a→-c→=α→=(a,0),b→-c→=β→=(0,b),则m2+n2=1,a→=(a+m,n),b→=(m,n+b),a→-b→=(a,-b),(a+m)2+n2=4,m2+(n+b)2=4,得到(a+m)2+n2+m2+(n+b)2=8,a2+b2+2am+2bn-6=0,做到这一步,怎么办了?从形式上看,a2+b2+2am+2bn-6=0表示以m,n为变量的直线方程,而m2+n2=1表示以m,n为变量的单位圆,直线和圆至少有一个交点,所以

|a2+b2+2a·0+2b·0-6|4a2+4b2≤1,解得7-1≤a2+b2≤7+1,|a→-b→|=a2+b2∈[7-1,7+1]。

评析:本题解题的关键是对向量的坐标处理,在解题的过程中要理解m2+n2=1的几何本质:它是一个实实在在的单位圆,并理解这个单位圆m2+n2=1对直线a2+b2+2am+2bn-6=0的制约作用。

美国数学家斯蒂恩曾说过:“如果能够发现一个特定的问题隐藏的几何图形,那么思维就整体地把握了问题,而且能创造性地思索问题的解法。”舍弃问题中的干扰因素,用圆来揭示问题的本质关系,是解题的需要,也是优化知识结构、训练思维、提高数学素养的需要,这也是素质教育的需要之一吧!

参考文献

\[1\]波利亚。怎样解题\[M\]。上海教育出版社,2001。

\[2\]罗增儒。 数学解题学引论\[M\]。陕西师范大学出版社,2008。

\[3\]梁昌金。由加菲尔德构图引发的思考\[J\]。数学通讯(教师刊),2014(8)。

\[4\]姚建明。道是无圆却有圆\[J\]。数学通讯(教师刊),2013(5)。

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