初等方法新解一道竞赛题

2020-01-02 01:16 次浏览

江苏省江阴长泾中学(214411)陈小莹

江苏省姜堰中等专业学校(225500)陈宇

赛题已知a,b,c为直角三角形的三边长,其中c为斜边长,求使a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值(第四届北方数学邀请赛试题)。

由文\[1\]知,文\[2\]“利用导数的知识给出了两种证明方法,指出不能用均值不等式和幂平均不等式求a3+b3+c3abc的最小值。”文\[1\]作者以均值不等式求出了a3+b3+c3abc的最小值。

经过探求,笔者发现,主要借助三角及函数的单调性和最值,可以给出该题又一新的初等解法。且求解过程同样简洁。

解:由题设可知,A+B=90°。a=csinA,b=csinB,sin2A+sin2B=1。不妨设0°<B≤45°≤A<90°,则0°≤A-B2<45°。则

a3+b3+c3abc

=sin3A+sin3B+1sinAsinB

=(sinA+sinB)(sin2A+sin2B-sinAsinB)+1sinAsinB=

2sinA+B2cosA-B2{1+12[cos(A+B)-cos(A-B)]}+1-12[cos(A+B)-cos(A-B)]=2cosA-B2[2-cos(A-B)]+2cos(A-B)

=2cosA-B2(3-2cos2A-B2)+22cos2A-B2-1

=-2cos2A-B2+2cosA-B2+22cosA-B2-1≥k(1)。

以下给出两种解法

法一:设x=A-B2,(0°≤x<45°)

构造函数f(x)=-2cos2A-B2+2cosA-B2+22cosA-B2-1=

22cosx-1-2cosx(0°≤x<45°),

设0°≤x1<x2<45°,则22<cosx2<cosx1≤1?0<2cosx2-1<2cosx1-1≤2-1,

f(x1)-f(x2)=22cosx1-1-2cosx1-(22cosx2-1-2cosx2)

=2(cosx2-cosx1)+22(cosx2-cosx1)(2cosx1-1)(2cosx2-1)<0,

∴当0°≤x<45°时,函数f(x)=22cosx-1-2cosx单调增加。

∴f(x)min=f(0)=22-1-2=2+2≥k。

当且仅当x=0即A=B=45°,即直角三角形为等腰直角三角形时,k的最大值为k=2+2。此时等号成立。

法二:由(1)去分母整理得2cos2A-B2-2(1-k)cosA-B2≤2+k(2)(去分母依据条件见法一),

配方得(2cosA-B2-1-k2)2≤k2+2k+94。(先固定变量k)(3),

当0°≤A-B2<45°时,

如法一可得1+k2<2cosA-B2-1-k2≤22-1+k2,

可见(2cosA-B2-1-k2)2的最大值为(1+k2)2或(22-1+k2)2。要使(3)成立,只需

(Ⅰ)(1+k2)2>(22-1+k2)2

(1+k2)2≤k2+2k+94

或(Ⅱ)(1+k2)2<(22-1+k2)2,

(22-1+k2)2≤k2+2k+92成立,分别解之得k<-2或-2<k≤2+2。

综上可得k≤2+2。可知k的最大值为k=2+2。

又当k=2+2时,(22-1+k2)2≤k2+2k+94等号成立。

从而(3)左边取得最大值,且等号成立。

即有(2cosA-B2-1-k2)2=k2+2k+94,取k=2+2,可化为2cos2A-B2+(2+2)cosA-B2-(4+2)=0,解之得cosA-B2=1,即A=B=45°或cosA-B2=-2+22<-1<22舍去。∴当且仅当A=B=45°,即直角三角形为等腰直角三角形时等号成立。此时,k的最大值为k=2+2。

显然法一较之法二显得简便。但法二作为一种方法不无可取之处。

本文之解法所涉及知识及方法(完全区别于文\[1\]),全是普通高中基础知识(含选修),思路也无特别之处,一般高中生完全可以看懂。

参考文献

\[1\]马占山,王瑞琴。一道竞赛题的初等证法\[J\]。中学数学研究(江西)2013,12(P50)。

\[2\]王远征。一道数学竞赛题的错误解答及订正\[J\]。数学通讯2011(上半月)(11,12)。

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